JdS2012


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Résumé de communication



Résumé 121 :

Réduction de la dimension sur une classe de fonctions
Paris, Quentin
ENS Cachan, Antenne Bretagne

\'Etant donn\'ee une variable al\'eatoire $(X,Y)$ \`a valeurs dans $\mathbb R^p\times\mathbb R$, nous \'etudions une nouvelle m\'ethode non param\'etrique de r\'eduction de la dimension pour l'estimation de la fonction de r\'egression $r(x)=\mathbb E(Y\vert X=x)$ lorsque la dimension $p$ de la variable explicative est potentiellement tr\'es grande. Disposant d'une classe $\mathcal F$ de fonctions continues $\varphi:\mathbb R^p\rightarrow\mathbb R^p$ telle qu'il existe $\varphi\in\mathcal F$ v\'erifiant $$\mathbb E(Y\vert \varphi(X))=\mathbb E(Y\vert X),$$ nous d\'efinissons la dimension r\'eduite $d_{\mathcal F}$ associ\'ee \`a la classe $\mathcal F$ comme la plus petite dimension que puisse atteindre un sous-espace vectoriel engendr\'e par l'image d'une fonction $\varphi\in\mathcal F$ v\'erifiant l'\'egalit\'e ci-dessus. Notre r\'esultat principal \'enonce qu'un certain estimateur $\hat r$ de $r$ atteint la vitesse optimale correspondante au cas o\`u la variable explicative est \`a valeurs dans $\mathbb R^{d_{\mathcal F}}$.