JdS2012


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Résumé de communication



Résumé 21 :

Grandes Déviations Précises pour des processus de Ornstein Uhlenbeck
SAVY, Nicolas ; BERCU, Bernard ; COUTIN, Laure
IMT

Nous présentons ici des résultats sur le comportement asymptotique de fonctionnelles associées à un processus de Ornstein-Uhlenbeck dirigé par un mouvement Brownien fractionnaire de paramètre de Hurst $H$. Ce comportement sera étudié en termes de Grandes Déviations et de Grandes Déviations Précises c'est à dire en termes d'équivalent et de développement asymptotique de la probabilité de dépasser une frontière et est dirigée par une fonction dite de taux.\ Une distinction doit être faite entre le cas Brownien fractionnaire ($H \ne \frac{1}{2}$) et le cas Brownien standard ($H = \frac{1}{2}$). En effet, les concepts intervenant dans les démonstrations doivent être définis avec plus de soin pour être corrects. Nous verrons qu'une fois ces précautions prises, les résultats ne sont pas tellement différents entre ces deux cas.\ Une autre distinction doit être faite entre le cas stable $\theta < 0 $ et le cas instable $\theta > 0$.Le comportement est, en effet, très différent avec notamment l'apparition d'une fonction de taux très inhabituelle faisant apparaître une phase plateau puis une abrupte discontinuité en son minimum. \ Après une présentation des résultats obtenus nous donnerons quelques points clés de la démonstration.